где — обобщённые координаты, число которых равно числу n степеней свободы системы,  — обобщённые скорости, — обобщённые силы, T — кинетическая энергия системы, выраженная через   и  .

Для системы, изображенной на  Рис.1, за обобщенные координаты можно принять координаты центра масс тела .
 

Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии тела , к которому за рабочий период присоединяются частицы, и кинетической энергии системы подвижных элементов переменной массы  .

(27)

Кинетическая энергия тела  , к которому за рабочий период присоединяются частицы системы подвижных элементов: 

, где

(28)

 

 

 

Кинетическая энергия системы подвижных элементов складывается из кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и вращательного относительно центра масс.

 

 

 

Скорость центра масс системы подвижных элементов складывается из собственной скорости    и переносной .

и  —  соответственно проекции скорости центра масс системы подвижных элементов на оси и .

—   момент инерции системы подвижных элементов относительно центра масс системы.  

 

 

 

 

      

 

По условию задачи, на нашу механическую систему не действуют внешние силы. Поэтому:

(29)

Решение системы дифференциальных уравнений второго порядка относительно и , с учетом начальных условий:

 

дает следующие результаты:

(30)

 

(31)

 

Значение координаты  в момент времени :

(32)

 

Или, примерно, с точностью до 5 знака:

 

 

Что в точности соответствует результатам, полученным ранее (21) и (23).

Значение координаты в момент времени :

(33)

 

Сравнение выражений (33) и (20) показывает, что при   ,

значения практически равны. (При ошибка составляет <0.5% . Возможно, это связано с методом решения дифференциальных уравнений.(Причиной ошибки является погрешность системы компьютерной алгебры Maple см. примечание!) В дальнейших расчетах координата x  вообще исключается. Об этом - чуть ниже.)

Вывод:

Анализ движения механической системы с помощью уравнений Лагранжа также показывает возможность перемещения замкнутой механической системы без внешнего воздействия.

Красным цветом обозначена траектория перемещения центра масс всей системы (25) (26),
  синим - перемещение корпуса (30)(31).

 

 

---

---

---

 

// //